第十二章 结构塑性分析
S12-3 比例加载时极限荷载判定
前述关于静定梁和超静定梁的计算，因为破坏形式比较容易确定，故计算较为简单。对一般超静定结构，由于可能出现的破坏形式有多种，必须在多种破坏形式中找出实际的破坏形式，才能求得极限荷载，所以计算要复杂得多。本节先介绍有关定理，然后讨论根据这些定理确定极限荷载的常用方法一—机构法和试算法。
所谓比例加载是指作用在结构上的所有荷载都按同一比例增加，而且不出现卸载现象时，荷载之间有一个称为荷载参数的公共因子，可以用F。表示。对于比例加载的给定结构，中按照各种可能的破坏机构，由平衡条件求得的称为可破坏荷载F；而按照各种静力可能并且安全的弯矩分布状态（即同时满足平衡条件和内力局限条件求得的称为可接受荷载F。于是，寻求极限荷载便归结LHE。为在荷载参数F，中找到极限值Fn。的问题（为叙述方便，以下仍将F。称为极限荷载）。结构的极限状态应该同时满足如下三个条件：
（1）平衡。条件，当结构处于极限状态时，认为它仍能保持瞬时的平衡；
（2）内力局限条件，在极限受力状态中，结构上任一截面弯矩的绝对值都不超过极限弯矩值，即IMI≤M.；（3）单向机构，私工[头。条件，结构在极限状态下，必有某些截面的弯矩达到极限而出现塑性仪，而且塑性仪的数目足以使结构变成一个机构。idw.
例如图12-11a所示单跨超静定梁，当梁上出现两个塑性铰时（图12-11b），它就由原来一次超静定结构变成了具有一图12-11个自由度的机构。该机构运动时（图12-11c)在塑性较处所引起的转角，必须与塑性较所容许的单向转动方向一致，故称为单向机构。
当上述三个条件同时被满足时，所求得的荷截就是极限荷载。下面说明确定极限荷载的定
1.上限定理（极小定理）可破坏荷载大于或等于极限荷载，即它表明可破坏荷载是极限荷载的上限值，或者说极限荷载是可破坏荷载中的极小者，故上限定理又称为极小定理。它表明可接受荷载是极限荷载的下限值，或者说极限荷载是可接受荷载中的极大者，故下限定理又称为极大定理。
3.单值定理（唯一性定理）对于比例加载的给定结构，若所求得的某一荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷线就是极限荷载。它表明，如果所求得的荷载能同时满足平衡条件、内力局限条件和单向机构条件，它就是该结构的极限荷载，而且是唯一正确的解答。
上限定理和下限定理，一方面可用来求出极限荷载的近似值并给出精确解的上下阻另一方面也可用来寻求极限荷载的精确解。如果能完各地列出各种可能的破坏机构，并利用平衡条件求出各相应的可破坏荷载，则其中的最小值便是极限荷载的精确解，这一方法就是机构法。利用单值定理，也可采用试算法求极限荷载，即先选择一种破坏机构求出可破坏荷载，然后再验算该荷载下的弯矩分布是否满足内力局限条件，如能满足则说明该荷载同时也是可接受荷载，根据单值定理必为极即着教
【例12-3】试计算图12-12a所示连续梁的极限荷载。设梁为等截面，极限弯矩等于
解：首先选择各种可能的破坏机构。由于塑性铰总是在某些弯矩出现峰值的截面先形成，故可判断该梁可能出现塑性铰的截面有D、B、E三处，相应破坏机构如图12-12b、c、d、e所示。
机构1（图12-12b）发生图示的虚位移时，根据虚位移原理可列出其虚功方程为机构3（图12-12d)从梁的受力和变形情况可以判定，由于BC梁的弯矩图是由支座弯矩M。和荷载（1.5F，）共同作用下叠加组成，因而在点E附近应为“V”形。这说明假设的破坏形式与实际情况不符，从而证明这种破坏机构是不可能出现的。
机构4（图12-12e）同理也是不可能出现的。计算同跨内等截面连续梁（各跨之间截面可不同）的极限荷载时，只要所受荷载方向相同，就可将各跨分别当作单跨超静定梁考虑，在$12-2中计算连续梁的极限荷载时就是这样考虑的。
比较上述机构所求得的可破坏荷载，其中最小-值5M。/1即为该连续梁的极限荷载。在它作用下连续梁的弯矩图可按以下方法作出：在出现塑性铰的截面，弯矩值为极限弯矩，再利用作弯矩图的叠加法和结点的力矩平衡条件，即可“求得不出现塑性较的杆端截面的弯矩。本例BC段5。因C端弯矩为零，E截面的弯矩为M.，所以，由作弯矩图的叠加法可推得BC杆B端的弯矩为。
再由结点B的力矩平衡条件，AB杆B端的弯矩也为M。/2(下边受拉）。本例相应于极限荷载Fn=5M。/I的弯矩图如图12-13e所示，显见它满足内力局限条件。
【例12-5】试求图12-14a所示等截面单跨超静定梁的极限荷载
解：该梁的破坏机构将如图12-14b所示，其。4中仪C的位置待定，可根据上限定理确定。
（本文原创:转载未经许可将追责）
