第四章 虚功原理和结构位移计算
&4-1 结构位移概念
一、结构的位移
结构在荷载作用下会产生内力，同时产生变形。由于变形，结构上各点的位置将会发生改变。杆件结构中杆件的横截面除移动外，还将发生转动。这些移动和转动称为结构的位移。此外，结构在如温度改变、支座位移等其他因素的影响下，也会发生位移。
例如图4-1a所示简支梁，在荷载作用下梁的形状由直变弯，如图4-1b所示。这时，横截面m加的形心C移动了一个距离CC”，称为C的线位移。同时截面mm还转动了一个角度，称为截面C的角位移或转角。又如图4-2a所示结构，在内侧温度升高的影响下发生如图中虚线所示的变形。此时，点C移到C'，即点C的线位移为CC'。若将CC“沿水平和竖向分解（图4-2b），则分量C'C'和cC分别称为点C的水平位移和竖向位移。同样，截面C还转动了一个角度P-，这就是截面C的角在结构设计中，除了要考虑结构的强度外，还要计算结构的位移以验算其刚度。验算刚度的目的是保证结构在使用过程中不致发生过大的位移。计算结构位移的另一重要目的，是为超静定结构的计算打下基础。在计算超静定结构的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。这样，位移的计算就成为解算超静定结构时必然会遇到的问题。此外，在结构的制作、架设等过程中，常须预先知道结构位移后的位置，以便采取一定的措施，因而也需要计算其位移
本章所研究的是线性变形体系位移的计算。所谓线性变形体系是指位移与荷载成比例构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由荷载引起的位移也完失。这样的体系中应力与应变的关系符合胡克定律，且变形是微小的，因此在计算结构的反内力时，可认为结构的几何形状和尺寸以及荷载的位置和方向保持不变。
对于位移与荷载不呈线性关系的非线性变形体系，若材料的物理性质是非线性的，则称理非线性；而当体系的变形过大，以致需要按变形后的几何位置来进行计算，即为几何非线性点书第十二章和第十一章将分别涉及这些问题。线性变形体系和非线性变形体系统称为刻
二、广义力和广义位移
力学中功的概念可定义为：一个不变的集中力的值与其作用点沿力作用线方向所发生移的乘积。例如在图4-3a所示结构中，点A处作用一个集中力F，待平衡后由于某种其因，结构继续发生如图4-3b中虚线所示的变形，力F的作用点由A移动到A'。在移动过中，如果力F的大小和方向均保持不变，则力F所作功为式中A是A点的线位移AA在力作用线方向上与该力相应的分位移。为了清晰表述，点恩4-3s中没有标明由于力F作用而使结构发生的变形，在图4-3b中则没有标明使结构变形的原因。
对于其他形式的力或力系所作的功，也常用两个因子的乘积来表示，其中与力相应的因子称为广义力，而另一个与位移相应的因子称为广义位移。这样，便可用统一而紧凑的形式将功表示为广义力与广义位移的乘积。下面对几种力系所作的功加以说明。
如图4-4a所示结构，在A、B两点受有一对大小相等、方向相反并沿AB连线作用的力F。当此结构由于某种其他原因发生如图4-4b中虚线所示的变形时，A、B两点分别移至A和B。设以Ax和An分别代表A、B两点沿AB连线方向的分位移，则这一对力F所作的功（作功过程中两力大小和方向保持不变）为
W=FAA+FAn=F(QN+An)=FA
式中A=Ax+An代表A、B两点沿其连线方向的相对线位移。
由上式可见，广义力是作用于A、B两点并沿该两点连线作用的一对等值而反向的力F，面A、B两点沿力的方向的相对线位移a则为广义位移。
又如图4-5a所示结构，在C、D两结点上作用着与杆CD相垂直的等值面反向的两个力F。设由于某种其他原因使结构发生位移时，C、D两点分别移于C'、D'的位置（图4-5b），并用A和△0分别表示C、D两点沿力F方向的分位移，则这两个力F所作的功（作功过程中两力大小和方向保持不变）为W=F2。+FAn =F(Oe+ On)=Fd,AcfeeFd。又注意到式中d为CD杆长，所以下d即代表两个等值而反向的力F所形成的力偶矩M=Fd。又注意到在微小变形假设的前提下，结构变形时的位移是微小的。因此，在图4一5b中，当C为o时，则有ED'Ac+An9~0~故两力所作总功可写为W=Mg因而所取的广义力为力偶M，广义位移为CD杆的转角9再如图4-6a所示铰C两侧受等值而反向的力偶M作用的多跨静定梁AB，当由于某种！他原因发生图4-6b中虚线所示的变形时，铰C两侧力偶所作总功（作功过程中M的大小保满不变）为W=Ma+MB=M(a+B)=Mg
由上式可知，可取作用于铰C两侧等值而反向的力偶M作为广义力，而取铰C两侧截面的糖转角9作为广义位移。
由以上例子可见，作功时广义力与相应广义位移的乘积具有相同的量纲，即功的量纲。
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