第八章 矩阵位移法
S8-3 单元刚度矩阵坐标变换
在S8-1中建立单元刚度矩阵时,单元的杆端位移及杆端力都是采用沿单元坐标系坐标方向的分量,但是在一般结构中,各单元坐标系的坐标方向不尽相同,这样就不便进行整体分析。
为了对结构利用力的平衡条件和变形谐调条件,须选用一个统一的结构坐标系(又称整体坐标系),将各结点的力和位移都以沿该坐标系坐标方向的分量来表示。相应对各单元的杆端力和杆端位移,也采用沿结构坐标系坐标方向的分量来表示。这样,表示结构坐标系中的杆端力列向量和杆端位移列向量之间变换关系的单元刚度矩阵,一般将与单元坐标系下的单元刚度矩阵不同。
在结构坐标系下的单元刚度矩阵,可通过将单元坐标系下的单元刚度矩阵进行坐标变换来获得。
如图8-7所示单元e,Ory为单元坐标系,Oxy为结构坐标系。在单元坐标系Qy 下,牌元杆端力如式(8-1)所示,即
F=(FR. F6 M'FF, MM)
式(8-21)就是单元刚度矩阵进行坐标变换的一般公式,当单元坐标系与结构坐标系一致(即a=0)时,则有K“=K。式(8-22)即结构坐标系下单元e的刚度方程。其中K”为结构坐标系下的单元刚度矩阵,它可根据单元坐标系下的单元刚度矩阵k[式(8-5)]和坐标变换矩阵
[式(8-17)]按式(8-21)求得,即在单元刚度矩阵的右侧和上方是用1~6表示的行码和列码,由于1、2、3和4、5、6分别代表单元i端和端沿x、y、p方向的编码,因此属局部码。每个元素的两个下标中,第一个下标表示该开端力的位置和方向,第二个下标表明引起该杆端力的单位杆端位移的位置和方向。例如,元素2表示单元e仅在i端发生沿y方向的单位线位移时,在i端沿x方向所引起的杆端力;总表示单元。仅在;端发生沿p方向的单位角位移时,在i端沿y方向所引起的杆端力。
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