2020年专升本(土木工程专业)第十章学习课程:频率近似计算

院校:湖南城市学院 发布时间:2019-11-01 11:43:40

    第4篇专题
    第十章  结构动力分析
    $10-8  频率近似计算
    前面研究了计算自振频率的精确方法,在自由度数目较多的情况下,计算工作很繁重。从实用的要求来说,特别是求解基本频率时,有必要采用近似的计算方法。
    一、能量法
    根据能量守恒和转化定律,当不考虑阻尼影响时,振动体系在任何时刻的动能T和应变能v之和应等于常数。此外,由前述可知,相应于每一频率的振动都是简谐振动,其特征为:当质点处于静力平衡位置的瞬间,速度最大,此时应变能V=0而动能T具有极大值;当质点距静力平衡位置达到最大位移的瞬间,速度为零,此时动能T=0而应变能V具有极大值。在这两个特定的时刻,应用能量守恒与转化定律可得T=V…
    据此求频率近似值的方法称为能量法。以具有分布质量的梁为例,设其振动方程为
    (r,1)=y(x)sin(ol+g)
    式中n表示集中质量的数目。利用上述公式计算自振频率时,必须知道振动曲线y(x),而精确的y(x)往往事先是未知的,因此,只能假定y(x)进行计算,所得的结果也就具有一定的近似性。通常假定的振动曲线多与第一振型相近,因此求出的也是第一频率的近似值。值得注意的是,假定曲线至少应满足位移边界条件(而真实的振动曲线同时满足位移边界条件和动力平衡条件)。
    通常多采用某一静力荷载(对单跨梁来说可以采用体系的自重)作用下的弹性曲线作y(x),此时应变能V。的计算用相应的外力功W.来代替更为简便,在以上推导和示例中,都是以振动曲线y(x)来计算的,如果利用振型曲线代人各相应公式,结果将是一样的。因此,按能量法计算时,也可将有关公式中的y(x)视为振型曲线,而不再对此严格区分。以上方法又称为瑞利法。可以证明,按假定的振动曲线求得的频率都大于实际的基本频率。这是因为选定一根曲线代替实际的振动曲线时,相当于在体系上施加了某种约束,从而增大了体系的刚度,所以导致频率增大。
    二、等效质量法对于多自由度体系或无限自由度体系,如只需求其基本频率,也可采用等效质量法。
    它用一个单自由度体系代替原体系,并将作用在单自由度体系上的质量m称为等效质量。m的大小随其位置确定,通常把等效质量放在最大位移处。确定等效质量的原则是使体系振动时的动能与原体系的动能相等。设具有分布质量而(x)的杆件按第一振型振动,其位移为误差为一1.1%。比较以上结果可见,第一种情况的误差较小。这是由于以集中荷载作用于等效质量处的弹性曲线作为振动曲线,在计算m时不仅保证了两个体系的动能相等而且也使两者的应变能相等,因而这种等效体系比较接近于原体系。
    式中称为等效质量系数。对于常见的单跨梁,当采用集中荷载作用于最大位移处的弹性曲线作为振动曲线时,其等效质量系数5列于表10-1中,可供计算基本频率近似值的过程中使用。
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