2020年专升本(土木工程专业)第十一章学习课程:有限自由度体系稳定计算

院校:吉首大学继续教育 发布时间:2019-10-31 09:27:19

    第十一章  结构稳定分析
    S11-2  有限自由度体系稳定计算
    与动力分析中的动力自由度类似,在稳定计算中,将确定体系失稳时变形状态所需的独立参变数的数目称为该体系的稳定自由度。显然,一般弹性压杆和结构都属于无限自由度体系的稳定问题,但对弹性支座上由抗弯刚度无穷大的刚性杆件所组成的压杆体系,则为有限个自由度。
    本节先以单自由度体系为例,进一步说明小挠度理论和大挠度理论前提下两类稳定问题的实质。
    再从平衡状态的稳定性说明势能驻值原理,并就多自由度体系的稳定问题,讨论静力法和能量法在临界荷载计算中的应用。
    一、两类失稳和两种理论
    图11-4a所示为一承受轴压力Fn的刚性压杆,下端为固定铰支座,上端为由水平弹簧构成的抗移弹性支座,其刚度系数为k。对此单自由度体系的第一类稳定间题,压杆由竖直位置AB发生倾斜至AB'时却仍然保持平衡状态(图11-4b),可0)1F,按照平衡条件M。=0,写出小挠度理论(BB=10,是最你β。,AB=1)和大挠度理论(BB=lsin 6,AB=lcs0)的平衡方程分别为
    F.l0-Fol=0,Fplsin 0-FRlcos0=0
    注意到FR=kle,Fa=klsin0
    则得(Fn-kl)10=0,(Fp-klcos 0)lsin 0=0在两个平衡方程中,若0=0,则对应于AB杆未倾斜
AA+属之前的原有平衡形式;若0/0,则可得
    Fp=kl,Fp=klcos0
    其Fp-0曲线分别如图11-5a、b所示,其中OAB代表原有平衡路径I,AC表示新的平衡路径Ⅱ,两线的交点A即为分支点,它们对应的临界荷载都是且原有平衡的路径I完全相同,但平衡路径Ⅱ上却出现不同:小挠度理论的路径Ⅱ简化为水平直线,处于随遇平衡状态;大挠度理论的荷载随倾角0的增加而减小,路径Ⅱ属于不稳定平衡。显然,后者更能反映失稳时的真实状况,而前者随遇平衡的结论则是近似简化导致的假象。
    图11-6a所示仍然为承受轴压的刚性杆,但由于初始倾角e的存在,系统属于第二类稳定问题。
    其F-0曲线分别如图11-7a、b所示。图中曲线已体现了=大小的影响,针对不同的初始倾角,都对应一个平衡路径,而当c=0时,即为上述第一类失稳时对应的路径。从图中可以看出,小挠度情况下各曲线虽可得到Fne=kt,却未能反映。对临界荷载的影响。大挠度时均属极值点失稳。
    由以上分析可以看出采用小挠度理论和大挠度理论的差别,仅仅在于当0、c很小时,有sn0=0,cs0~1和sin (0+e)~0+e,sin c~c,cos(0+e)~l而已。结构的稳定分析只有采用大挠度理论才能得出精确结论,但小挠度理论也有其实用的优点,特别在第一类稳定间题中通常能够得到临界荷载的正确解答,但确实存在一定的局限性。
    二、势能驻值原理和平衡状态
    能量法中用到的势能驻值原理可表述为:在弹性体系的所有几何可能位移状态中,真实的位移状态应使总势能为驻值。由此得到的驻值条件就等价于平衡条件,但是平衡状态有稳定、不稳定和中性三种,要判别平衡状态究竟属于哪一种,还必须对总势能作进一步研究。现仍用图1-4中刚性直杆的稳定加以说明。取竖直方向的初始平衡位置为参考状态,则体系的总势能E,为弹性支承的应变能V与荷载势能E。的总和处于这一临界状态的荷载即为临界荷载Fn=Al,结果与用平衡条件求得的结果完全相同。
    由以上讨论可知:当体系处于稳定平衡状态时,其总势能必为最小。因此,它由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时,体系总势能E。相应就由正定转为非正定,必然取得驻值。这一结论虽是根据单自由度体系作出的,但它同样适用于多自由度体系和无限自由度体系。
    三、静力法和能量法示例
    由刚性链杆和弹性支座构成的体系,一般都属于多自由度体系。例如图11-8a所示体系,其失稳状态可由B、C两点的竖向位移决定,故属于两个自由度的稳定问题。静力法求临界荷载是根据临界状态的静力特征,即从平衡形式的二重性寻找体系新的平衡状态,而其上的作用力必须满足静力平衡条件。能量法则是从临界状态的能量特征出发,以与平衡条件等价的势能驻值原理求解临界荷载。以下用实例加以说明。
    【例11-1】试分别用静力法和能量法确定图11-8a所示刚性链杆体系的临界荷载,并求其失稳时的实际变形形式。已知k1=k,k2=3k。
    解:设该体系发生如图11-8b所示的变形,这是两个自由度体系的稳定问题。体系实际的失稳形式应与临界荷载F对应,即如图11-8c所示。至于第二种失稳形式,只是理论分析的结果,不具有实际意义。
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