2020年专升本(土木工程专业)第六章学习课程:位移法基本概念

院校:东北农业大学研究生培训 发布时间:2019-11-08 19:21:12

    第六章  位移法和力矩分配法

    86-1  位移法基本概念

    前面介绍的力法是分析超静定结构最基本而且历史最悠久的方法。它是以结构的多余力作为基本未知量,按照位移条件首先将它们求出,然后便可据此求出结构的其他反力、内力和位移。由于在一定外因作用下,结构的内力和位移之间恒具有一定的关系。因此,也可把结构的某些位移作为基本未知量,首先求出它们,然后再据此确定结构的内力。这样的方法称为位移法。为了说明位移法的基本概念,下面分别讨论几个简单例子。图6-1a所示为一两跨等截面的连续梁,在荷载作用下发生如图中虚线所示的变形。该连续梁可看成由AB、BC两根杆件B点刚性联结组成,所以结点B为刚结点。因为不考虑受弯杆件的轴向变形,且结点B有收链杆支承,故结点B无水平线位移和竖向线位移,只有角位移,设为Z1。汇交于该刚结点的面杆杆端在变形后将发生与结点相同的转角。因此,图6-1a中AB杆的B端和BC杆的B端的发生转角Z1。

    分别考察在B点刚性联结的AB、BC两杆,由于它们相互约束的性质与固定支座一样,此,其变形情况与图6-1b所示相同,其中AB杆相当于两端固定梁在固定端B处发生转角Z:BC杆则相当于左端固定右端铰支的单跨梁受荷载Fp作用,且在固定端B处发生大小为Z,的转角。根据叠加原理,图6-1b又可分解为图6-1c、d所示两种情况来考虑。据此,按转角位移方程(5-3)、(5-5)或查表5-1,即可写出AB、BC两杆的杆端弯矩式中Max的第二项一Fnl为图6-1c中的BC梁当B端支座无位移时,仅由于荷载作用所产生的弯矩,这就是固端弯矩Mc。注意到若能确定两杆的杆端弯矩,则杆中的内力即可由平衡条件求得。在上述各杆端弯矩的表达式中,固端弯矩可根据已知荷载直接算出或查表得出,而结点B的转角Z,却是未知量。只有预先求得Z1,才可能确定杆端弯矩。下面讨论如何求得结点B的转角Z1。假设结点B转动任意大小的角度,即Z,无论取何数值,这时虽然汇交于结点B的各杆端仍有相同的转角,结构的变形保持谐调,但相应各杆端产生的弯矩值就不一定满足结点B的力矩平衡条件,从而造成不符合结构实际的变形和受力情况。

    因此,应根据结点B的力矩平衡条件来确定角位移Z1杆端弯矩求得后,即可利用图6-3a所示隔离体由平衡条件求出杆端剪力。杆端剪力也可又如图6-4a所示刚架,结点1为刚结点。在荷载q作用下,将发生如图中虚线所示的变形,汇交于结点1的两杆在1端将产生相同的转角Z,。根据受弯直杆杆长不变假定($5-7),各杆两端之间的距离在变形过程中保持不变。这样,在图示刚架中,由于支座2、3都不能移动,而结点1与2、3两点之间的距离根据上述假定又都保持不变,于是结点1也就被认为不能发生线位移。在图6-4a中杆12和13的变形情况分别与图6-4b、c所示的两根单跨梁相同。因此,只要以单跨超静定梁为基础写出各杆端弯矩表达式,就能利用结点1的力矩平衡条件求得结点1的角位移。

    上述结构只有一个发生角位移的刚结点,计算时即取该角位移为基本未知量。但在结构具有若干结点且可能同时发生转角和线位移的情况下,如图6-5a(同图5-48)所示刚架,C、D两刚结点除分别发生转角Z1=c和Z2=po外,同时具有相同的水平线位移Z,=A(杆长不变假定)。同样也应求出Z,、Z,和Z,这三个基本未知量,然后才能确定全部杆端弯矩和剪力。这三个结点位移的大小由结构的平衡条件确定。求解上述三个基本未知量时,可取结点C和D(图6-5b)为隔离体,列出两个力矩平衡方程,由2Mc=0和ZMo=0分别得此外,再截取结构中包含发生Z,的各结点在内的部分隔离体,列出一个投影平衡方程。在本例中,可截开柱顶并取柱顶以上横梁CD部分为隔离体(图6-5b),由F,=0得

    将杆端内力表达式代人上述三个平衡方程后,就可得到包含基本未知量Z,、Z,、Z,的三个代意方程,问题即可求解。根据以上所述,位移法是以结构中结点位移(转角和独立线位移)作为基本未知量来解题的。若有n个刚结点,则有n个转角未知量,就需从这n个刚结点建立n个力矩平衡方程;若有副个独立的结点线位移未知量,一般则需考虑某些横梁部分(包含柱端)的平衡来建立m个投影平衡方程。根据全部平衡方程将结点位移求出后,便可以确定结构的内力。从计算原理上看,位多法是按如下思路进行的:

   (1)把结构在有位移产生的可动结点处拆开,将各杆分别视为相应的单跨超静定梁。这些梁承受原有的荷载,并在杆端发生与实际情况相同的杆端位移。据此,即可写出各杆杆端内力表达式。

   (2)将各杆组合成原结构。此时,考虑结构的变形谐调,各杆的杆端位移应与联结该杆的猫点位移相谐调,并考虑各刚结点的力矩平衡条件及结构某部分的投影平衡条件一般取横梁部分的剪力平衡条件)。由此,即可获得与基本未知量数目相等的方程来求解各未知结点位移。这样的方程称为位移法方程。值得指出,上述分析是以单根杆件的受力分析为基础的,必须事先掌握单根杆件的杆端力与籽端位移及所受荷载之间的关系。这种关系式可从表5-1或等截面杆件的转角位移方程获得。如果能将一些其他类型杆件(如变截面直杆、曲杆甚至折杆等)的转角位移方程求得,也就能用位移法求解由这些杆件组成的超静定结构。

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