第二章 体系几何组成分析
&2-1 几何组成分析目的
杆件结构是由若干杆件互相联结所组成的体系，并与地基联结成一整体，用来承受荷载的作用。当不考虑各杆件本身的变形时，它应能保持其原有几何形状和位置不变，即当不考虑材料的应变时，杆件结构的各个杆件之间及整个结构与地面之间，应不致发生相对运动。
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的条件下，若能保持其几何形状和位置不变者，称为几何不变体系，图2-1a所示为这类体系的一个例子。可是另有一类体系，如图2-1所示的例子，尽管只受到很小的荷载F，作用，也将引起几何形状的改变，这类体系称为几何可变体系。显然，土木工程结构不能采用几何可变体系，而只能采用几何不变体系。
上述体系的区别在于它们的几何组成不同。分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析。几何组成分析的目的在于：判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构；研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构能承受荷载而维持平衡；同时也为正确区分静定结构和超静定结构，以及对结构进行内力计算打下必要的基础。
在本章中，只讨论平面杆件体系的几何组成分析。
S2-2运动自由度概念
为了便于对体系进行几何组成分析，先讨论体系运动自由度的概念。所谓运动自由度（以下简称为自由度），是指该体系运动时，用来确定其位置所需独立坐标的数目。在平面内的某一动点A，其位置要由两个坐标x和y来确定（图2-2a)，所以一个点的自由度等于2，即点在平面内可以作两种相互独立的运动，通常用平行于坐标轴的两种移动来描述。
对平面体系作几何组成分析时，由于不考虑材料的应变，所以认为各个构件没有变形。于是，可以把一根梁、一根链杆或体系中已经肯定为几何不变的某个部分看作一个平面刚体，简称为副片。一个刚片在平面内运动时、其位置将由它上面的任一点A的坐标x、y和过A点的任一直线AB的倾角p来确定（图2-2b）。因此，一个刚片在平面内的自由度等于3，即刚片在平面内不但可以自由移动，而且还可以自由转动。
对刚片加上约束装置，它的自由度将会减少，凡能减少一个自由度的装置称为一个约束。例如用一根链杆将刚片与基础相联（图2-3a），则刚片将不能沿链杆方向移动，因而减少了一个自由度，故一根链杆为一个约束。如果在刚片与基础之间再加一根链杆（图2-3b），则刚片又减少了一个自由度。此时，它就只能绕A点作转动而丧失了自由移动的可能，即减少了两个自由度。
用一个铰把两个刚片I和Ⅱ在A点联结起来（图2-3c），对刚片I而言，其位置可由A点的坐标x、y和AB线的倾角q1来确定。因此，它仍有三个自由度。在刚片I的位置被确定后。因为刚片Ⅱ与刚片I在A点以铰联结，所以刚片Ⅱ只能绕A点作相对转动。也就是说，刚片Ⅱ只保留了独立的相对转角p2。因此，由刚片I、Ⅱ所组成的体系在平面内的自由度为4。而两个独立的刚片在平面内的自由度总数应为2×3=6。因此，用一个铰将两个刚片联结起来后，就使自由度的总数减少了两个。这种联结两个刚片的铰称为单铵。由上述可见，一个单铰相当于两个约束，也相当于两根链杆的约束作用（图2-3b）。
通过类似的分析可以知道，固定支座相当于三个约束，联结两杆件的刚结点也相当于三个约一个平面体系通常都是由若干个刚片加入某些约束所组成的。加入约束后能减少体系的自由度，依此，可以简单算出体系的自由度。若加入的约束不够，则算出的自由度大于零，体系将会发生某种运动而几何可变。但在约束数量足够时，即使算出的自由度等于或小于零时，仍不能完全保证体系几何不变。只有在组成体系的各刚片之间恰当地加入足够的约束，才能使刚片与刚片之间不发生相对运动，从而使该体系成为几何不变体系。
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